نموذج ألعاب المجال المتوسط لتعدين العملات المشفرة: ديناميكيات المركزية

جدول المحتويات

1. المقدمة والنظرة العامة

تقدم هذه الورقة تطبيقًا جديدًا لنظرية ألعاب المجال المتوسط لنمذجة ديناميكيات المنافسة في تعدين العملات المشفرة، مع التركيز بشكل خاص على مفارقة مركزية المكافآت والقوة الحاسوبية في أنظمة لامركزية ظاهريًا مثل البيتكوين. تتناول أسئلة البحث الأساسية الحوافز التي تدفع سلوك المعدّنين، وآليات تركيز الثروة والقوة، وتأثير عوامل مثل التوزيع الأولي للثروة، ومكافآت التعدين، وكفاءة التكلفة (مثل الوصول إلى كهرباء رخيصة).

يستوعب النموذج جوهر تعدين إثبات العمل: يبذل المعدّنون جهدًا حاسوبيًا (معدل الهاش) بتكلفة، ويتنافسون على مكافأة عشوائية. يؤدي تجميع الاستراتيجيات الفردية إلى وصف مجهري لتطور نظام التعدين البيئي.

2. النموذج الأساسي والمنهجية

2.1. إطار عمل ألعاب المجال المتوسط

يصوغ النموذج منافسة التعدين كلعبة مجال متوسط للوقف الأمثل أو التحكم في شدة القفز. يتم النظر في استمرارية من المعدّنين. تمثل حالة كل معدّن ثروته $X_t$. يتحكمون في شدة معدل الهاش الخاص بهم $\lambda_t$، مما يؤثر على احتمالية فوزهم بالكتلة التالية وتكاليف تشغيلهم.

2.2. مشكلة التحسين للمعدّن الفردي

يهدف المعدّن الفردي إلى تعظيم المنفعة المتوقعة لثروته النهائية $X_T$. تحرك ديناميكيات الثروة بواسطة مكافآت التعدين (القفزات) وتكلفة الجهد:

$dX_t = -c(\lambda_t)dt + R \, dN_t^{\lambda_t}$

حيث $c(\lambda)$ هي دالة التكلفة للحفاظ على معدل الهاش $\lambda$، و $R$ هي مكافأة الكتلة الثابتة، و $N_t^{\lambda}$ هي عملية بواسون خاضعة للتحكم بشدة $\lambda_t$ تمثل أحداث تعدين الكتل الناجحة.

2.3. التحكم في شدة القفز

متغير التحكم الرئيسي هو الشدة $\lambda_t$ لعملية بواسون. يؤدي اختيار $\lambda$ أعلى إلى زيادة فرصة الحصول على المكافأة $R$ ولكنه يتكبد تكاليف مستمرة أعلى $c(\lambda)dt$. تنشأ تفاعلات المجال المتوسط لأن احتمالية الفوز تعتمد أيضًا على إجمالي معدل الهاش لجميع المعدّنين الآخرين، مما يربط الاستراتيجيات الفردية بتوزيع السكان.

3. النتائج التحليلية والعددية

3.1. حالة دالة المنفعة الأسية (حل صريح)

للمعدّنين ذوي دالة المنفعة الأسية $U(x) = -e^{-\gamma x}$ (تجنب مطلق ثابت للمخاطر)، يقبل النموذج حلاً صريحًا. يتم اشتقاق استراتيجية معدل الهاش المثلى $\lambda^*$ في شكل ردود فعل، موضحًا كيف تعتمد على الثروة الحالية، وتجنب المخاطر $\gamma$، ومعلمات التكلفة، والمجال المتوسط.

3.2. حالة دالة المنفعة القوية (حل عددي)

لدالة المنفعة القوية الأكثر واقعية $U(x) = \frac{x^{1-\eta}}{1-\eta}$ (تجنب نسبي ثابت للمخاطر)، يتم حل معادلة هاميلتون-جاكوبي-بيلمان المقترنة بمعادلة كولموغوروف الأمامية لتوزيع الثروة عدديًا. يكشف هذا عن ديناميكيات تحت تجنب نسبي متناقص للمخاطر.

3.3. النتائج الرئيسية ومحركات المركزية

• الثروة تلد الثروة: تؤدي توزيعات الثروة الأولية غير المتجانسة إلى زيادة عدم المساواة بمرور الوقت ("الأغنياء يزدادون ثراءً"). يمكن للمعدّنين الأكثر ثراءً الحفاظ على معدلات هاش أعلى، والفوز بمكافآت أكثر.
• تأثير حجم المكافأة: يؤدي ارتفاع مكافأة البيتكوين $R$ إلى تسريع المركزية من خلال تضخيم العوائد على نطاق المعدّنين الأكبر.
• الدور المزدوج للمنافسة: بينما يزيد المزيد من المعدّنين من إجمالي معدل الهاش، يظهر النموذج أن المنافسة تبطئ فقط - ولكن لا تعكس - اتجاهات المركزية بشكل متواضع.
• كفاءة التكلفة كميزة حاسمة: يساهم المعدّن ذو دالة التكلفة الأقل $c(\lambda)$ (مثلًا من الكهرباء الرخيصة) بحصة مهيمنة من قوة الهاش في حالة التوازن، محصنًا إلى حد كبير من المنافسة من المنافسين الأقل كفاءة. هذا يصور بشكل مباشر صعود كيانات مثل بيتماين.

4. التفاصيل التقنية والإطار الرياضي

جوهر لعبة المجال المتوسط هو النظام المقترن للمعادلات التفاضلية الجزئية:

1. معادلة هاميلتون-جاكوبي-بيلمان (التحكم الأمثل): $\partial_t v + H(t, x, \partial_x v, m) = 0$ مع الشرط النهائي $v(T,x)=U(x)$. تتضمن دالة هاميلتون $H$ التعظيم على $\lambda$: $H = \sup_{\lambda \geq 0} \{ \lambda [v(t, x+R) - v(t,x)] - c(\lambda) \partial_x v \}$.
2. معادلة كولموغوروف الأمامية (تطور التوزيع): $\partial_t m + \partial_x (b^* m) = 0$، حيث الانحراف $b^* = -c(\lambda^*) + \lambda^* [\delta_{x+R} - \delta_x]$ مشتق من التحكم الأمثل $\lambda^*$ ويتضمن حد قفز. الشرط الأولي هو توزيع الثروة المعطى $m(0,x)=m_0(x)$.

التوازن هو نقطة ثابتة حيث يولد التحكم الأمثل $\lambda^*$ من معادلة هاميلتون-جاكوبي-بيلمان، بمعلومية التوزيع $m$، تطورًا للتوزيع عبر معادلة كولموغوروف الأمامية يؤدي إلى نفس $m$.

5. النتائج، الرسوم البيانية والسياق التجريبي

عادةً ما توضح النتائج العددية للورقة تطور توزيع الثروة $m(t,x)$ من حالة أولية منتشرة (مثل التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي) إلى توزيع منحرف بشدة ومركز بمرور الوقت. تشمل التصورات الرئيسية:

• توزيع الثروة عبر الزمن: رسوم بيانية تُظهر دالة كثافة الاحتمال لثروة المعدّنين تصبح أكثر انحرافًا لليمين، مع تطور ذيل سمين.
• مسار معامل جيني: رسم بياني لمعامل جيني (مقياس لعدم المساواة) يزداد بشكل رتيب مع الزمن، مما يحدد تأثير "الأغنياء يزدادون ثراءً".
• حصة معدل الهاش مقابل الثروة الأولية/التكلفة: رسم تخطيطي يوضح كيف أن حصة معدل الهاش في حالة التوازن هي دالة متزايدة بشدة للثروة الأولية أو دالة متناقصة للتكلفة الحدية.
• الرابط التجريبي: يوفر النموذج أساسًا نظريًا للملاحظات التجريبية مثل تلك الموجودة في Kondor et al. (2014)، والتي وجدت أن تراكم البيتكوين يتركز بين عدد قليل من العناوين، وهيمنة السوق لمجمعات ذات ميزة تكلفة مثل بيتماين (التي سيطرت على ~33% من معدل الهاش في 2019).

6. الإطار التحليلي: دراسة حالة مبسطة

السيناريو: ضع في اعتبارك نوعين من المعدّنين في نموذج ثابت مبسط: المعدّن "الكبير" L بتكلفة حدية منخفضة $c_L$ وثروة أولية $W_L$، والمعدّن "الصغير" S بتكلفة عالية $c_S$ وثروة $W_S$، حيث $W_L >> W_S$، $c_L < c_S$.

منطق النموذج: يختار كل منهما معدل الهاش $\lambda_i$ لتعظيم الربح المتوقع: $\pi_i = \lambda_i \cdot R / (\lambda_L + \lambda_S) - c_i \lambda_i$، حيث يتم تقسيم المكافأة بشكل متناسب مع معدل الهاش.

نتيجة التوازن: يؤدي حل شروط الدرجة الأولى إلى $\lambda_L^* / \lambda_S^* = \sqrt{c_S / c_L}$. بما أن $c_S > c_L$، يساهم المعدّن L ذو الميزة التكلفية بقوة هاش أكثر بشكل غير متناسب. هامش ربحه أعلى، مما يسمح بإعادة الاستثمار وزيادة الفجوة بشكل أكبر - وهو نموذج مصغر لنتيجة المركزية في ألعاب المجال المتوسط. يوضح هذا كيف أن فروق التكلفة، وليس الثروة الأولية فقط، تدفع المركزية.

7. التطبيقات المستقبلية واتجاهات البحث

• آليات إجماع بديلة: تطبيق نماذج ألعاب المجال المتوسط على أنظمة إثبات الحصة لتحليل تركيز المدققين ومشكلة "لا شيء على المحك".
• تصميم السياسات والبروتوكولات: استخدام النموذج لاختبار تأثير التغييرات المقترحة في البروتوكول (مثل مكافآت الكتل المتغيرة، هياكل الرسوم المختلفة) على مقاييس اللامركزية.
• ديناميكيات مجمعات التعدين: توسيع النموذج ليشمل التكوين الاستراتيجي والمنافسة بين مجمعات التعدين، مع دمج رسوم المجمعات وعوامل الثقة.
• التعدين متعدد الأصول/المتسلسل: نمذجة المعدّنين الذين يخصصون قوة الهاش عبر عملات مشفرة متعددة، ودراسة تفاعلات النظام البيئي.
• التكامل مع البيانات التجريبية: معايرة معلمات النموذج (دوال التكلفة، تجنب المخاطر) ببيانات التعدين الواقعية للتنبؤ بعتبات المركزية.

8. المراجع

1. Li, Z., Reppen, A. M., & Sircar, R. (2022). A Mean Field Games Model for Cryptocurrency Mining. arXiv:1912.01952v2 [math.OC].
2. Nakamoto, S. (2008). Bitcoin: A Peer-to-Peer Electronic Cash System.
3. Kondor, D., Pósfai, M., Csabai, I., & Vattay, G. (2014). Do the Rich Get Richer? An Empirical Analysis of the Bitcoin Transaction Network. PLOS ONE.
4. Lasry, J.-M., & Lions, P.-L. (2007). Mean field games. Japanese journal of mathematics.
5. Carmona, R., & Delarue, F. (2018). Probabilistic Theory of Mean Field Games with Applications. Springer.

9. منظور محلل الصناعة

الفكرة الأساسية: تقدم هذه الورقة حكمًا قاتمًا ولكنه أنيق رياضيًا: الميكانيكا الاقتصادية لتعدين إثبات العمل مركزية بطبيعتها. اللامركزية ليست حالة توازن مستقرة بل حالة عابرة تتعرض للتآكل بواسطة وفورات الحجم، ومزايا التكلفة، وتركيب الثروة. يضع النموذج في إطار رسمي ما اشتبه فيه مراقبو الصناعة منذ فترة طويلة - أن "اللامركزية" في البيتكوين هي سردية تتعارض بشكل متزايد مع نظرية الألعاب الأساسية لها.

التدفق المنطقي: الحجة مقنعة. ابدأ بعوامل عقلانية تهدف إلى تعظيم الربح. أضف هيكل مكافأة عشوائي ولكنه متناسب مع رأس المال المستثمر (معدل الهاش). أدخل تكاليف غير متجانسة (الكهرباء، كفاءة الأجهزة). ثم تعمل آلية ألعاب المجال المتوسط بلا هوادة، موضحة كيف يتم تضخيم التفاوتات الأولية - سواء في الثروة أو الكفاءة التشغيلية - وليس تخفيفها، بواسطة المنافسة. الحل الصريح لدالة المنفعة الأسية هو خدعة أنيقة، لكن النتائج العددية لدالة المنفعة القوية هي النتيجة الحقيقية، التي ترسم مباشرة سلوك المعدّن في العالم الحقيقي.

نقاط القوة والضعف: قوتها تكمن في صرامتها الرسمية - إنها نموذج اقتصادي سليم، وليس مجرد كلام عام. إنها تنجح في ربط الحوافز الجزئية بالنتائج الكلية (المركزية). ومع ذلك، عيبها هو التجريد. فهي تتجاهل الاحتكاكات المهمة: استراتيجيات القفز بين المجمعات، دور مصنعي الدوائر المتكاملة الخاصة بالتطبيقات (مثل بيتماين نفسها) كلاعب وحكم، المخاطر التنظيمية الجغرافية/السياسية، وإمكانية حدوث انقسامات قوية استجابةً لمركزية شديدة. كما هو الحال مع العديد من تطبيقات ألعاب المجال المتوسط، قد تبسط افتراضية "المجال المتوسط" - أن المعدّنين يتفاعلون فقط مع المجموع - التحالفات الاستراتيجية وسياسات المجمعات بشكل مفرط.

رؤى قابلة للتنفيذ: لمطوري البروتوكولات، هذا البحث هو تحذير صارخ. التلاعب بمكافآت الكتل وحدها لن يصلح المركزية؛ فهي مُضمنة في حساب التكلفة-المكافأة. يجب أن يتحول التركيز إلى تصميم آليات إجماع تعاقب النطاق بنشاط أو تكافئ التوزيع، أو قبول دور للتدخل التنظيمي في عوامل التكلفة (مثل ضرائب الكربون على التعدين). بالنسبة للمستثمرين، فإنه يؤكد أن القيمة طويلة الأجل للعملة المشفرة مرتبطة ليس فقط بالاعتماد ولكن باستدامة لامركزيتها. الشبكة التي يتحكم فيها عدد قليل من الكيانات ذات الميزة التكلفية هي خطر نظامي. توفر هذه الورقة الإطار الكمي لبدء قياس هذا الخطر.