क्रिप्टोकरेंसी माइनिंग के लिए एक मीन फील्ड गेम्स मॉडल: केंद्रीकरण की गतिशीलता

विषय सूची

1. परिचय एवं अवलोकन

यह शोधपत्र क्रिप्टोकरेंसी माइनिंग की प्रतिस्पर्धी गतिशीलता को मॉडल करने के लिए मीन फील्ड गेम (एमएफजी) सिद्धांत के एक नवीन अनुप्रयोग का प्रस्ताव करता है, विशेष रूप से बिटकॉइन जैसी सैद्धांतिक रूप से विकेंद्रीकृत प्रणालियों में पुरस्कारों और कम्प्यूटेशनल शक्ति के विरोधाभासी केंद्रीकरण को संबोधित करता है। मूल शोध प्रश्न माइनर व्यवहार को प्रेरित करने वाले प्रोत्साहनों, धन और शक्ति संकेंद्रण के पीछे के तंत्रों, और प्रारंभिक धन वितरण, माइनिंग पुरस्कारों और लागत दक्षता (जैसे सस्ती बिजली तक पहुंच) जैसे कारकों के प्रभाव की जांच करते हैं।

यह मॉडल प्रूफ-ऑफ-वर्क माइनिंग का सार पकड़ता है: माइनर एक लागत पर कम्प्यूटेशनल प्रयास (हैश रेट) लगाते हैं, एक स्टोकेस्टिक पुरस्कार के लिए प्रतिस्पर्धा करते हैं। व्यक्तिगत रणनीतियों के समुच्चय से माइनिंग पारिस्थितिकी तंत्र के विकास का एक स्थूल विवरण प्राप्त होता है।

2. मूल मॉडल एवं पद्धति

2.1. मीन फील्ड गेम रूपरेखा

यह मॉडल माइनिंग प्रतिस्पर्धा को इष्टतम स्टॉपिंग या जंप इंटेंसिटी नियंत्रण के एक मीन फील्ड गेम के रूप में तैयार करता है। माइनरों की एक सातत्य (कॉन्टिनम) पर विचार किया जाता है। प्रत्येक माइनर की स्थिति उसका धन $X_t$ है। वे अपनी हैश रेट तीव्रता $\lambda_t$ को नियंत्रित करते हैं, जो अगले ब्लॉक जीतने की उनकी संभावना और उनकी परिचालन लागत दोनों को प्रभावित करती है।

2.2. माइनर का अनुकूलन समस्या

एक व्यक्तिगत माइनर का उद्देश्य अपने अंतिम धन $X_T$ की अपेक्षित उपयोगिता को अधिकतम करना है। धन गतिशीलता माइनिंग पुरस्कारों (जंप) और प्रयास की लागत से संचालित होती है:

$dX_t = -c(\lambda_t)dt + R \, dN_t^{\lambda_t}$

जहाँ $c(\lambda)$ हैश रेट $\lambda$ को बनाए रखने के लिए लागत फलन है, $R$ निश्चित ब्लॉक पुरस्कार है, और $N_t^{\lambda}$ तीव्रता $\lambda_t$ वाला एक नियंत्रित पॉइसन प्रक्रिया है जो सफल ब्लॉक माइनिंग घटनाओं का प्रतिनिधित्व करती है।

2.3. जंप इंटेंसिटी नियंत्रण

मुख्य नियंत्रण चर पॉइसन प्रक्रिया की तीव्रता $\lambda_t$ है। उच्च $\lambda$ चुनने से पुरस्कार $R$ अर्जित करने की संभावना बढ़ती है लेकिन उच्च निरंतर लागत $c(\lambda)dt$ आती है। मीन फील्ड अंतर्क्रिया इसलिए उत्पन्न होती है क्योंकि जीतने की संभावना अन्य सभी माइनरों के समग्र हैश रेट पर भी निर्भर करती है, जो व्यक्तिगत रणनीतियों को जनसंख्या वितरण से जोड़ती है।

3. विश्लेषणात्मक एवं संख्यात्मक परिणाम

3.1. घातांकीय उपयोगिता मामला (स्पष्ट समाधान)

घातांकीय उपयोगिता $U(x) = -e^{-\gamma x}$ (स्थिर निरपेक्ष जोखिम विमुखता) वाले माइनरों के लिए, मॉडल एक स्पष्ट समाधान स्वीकार करता है। इष्टतम हैश रेट रणनीति $\lambda^*$ प्रतिपुष्टि (फीडबैक) रूप में व्युत्पन्न की जाती है, जो दर्शाती है कि यह वर्तमान धन, जोखिम विमुखता $\gamma$, लागत पैरामीटर और मीन फील्ड पर कैसे निर्भर करती है।

3.2. घात उपयोगिता मामला (संख्यात्मक समाधान)

अधिक यथार्थवादी घात उपयोगिता $U(x) = \frac{x^{1-\eta}}{1-\eta}$ (स्थिर सापेक्ष जोखिम विमुखता) के लिए, धन वितरण के लिए हैमिल्टन-जैकोबी-बेलमैन (एचजेबी) समीकरण को कोलमोगोरोव फॉरवर्ड (केएफ) समीकरण के साथ युग्मित करके संख्यात्मक रूप से हल किया जाता है। यह घटती सापेक्ष जोखिम विमुखता के तहत गतिशीलता को प्रकट करता है।

3.3. प्रमुख निष्कर्ष एवं केंद्रीकरण के चालक

• धन से धन पैदा होता है: विषम प्रारंभिक धन वितरण समय के साथ बढ़ती असमानता की ओर ले जाते हैं ("अमीर और अमीर होते जाते हैं")। धनी माइनर उच्च हैश रेट बनाए रख सकते हैं, अधिक पुरस्कार जीत सकते हैं।
• पुरस्कार आकार प्रभाव: उच्च बिटकॉइन पुरस्कार $R$ बड़े माइनरों के लिए पैमाने के प्रतिफल को बढ़ाकर केंद्रीकरण को तेज करता है।
• प्रतिस्पर्धा की दोहरी भूमिका: जबकि अधिक माइनर समग्र हैश रेट बढ़ाते हैं, मॉडल दर्शाता है कि प्रतिस्पर्धा केंद्रीकरण की प्रवृत्तियों को केवल मामूली रूप से धीमा करती है—लेकिन उलटती नहीं है।
• निर्णायक लाभ के रूप में लागत दक्षता: कम लागत फलन $c(\lambda)$ (जैसे सस्ती बिजली से) वाला एक माइनर संतुलन में हैश शक्ति का प्रमुख हिस्सा योगदान करता है, जो कम कुशल प्रतिद्वंद्वियों की प्रतिस्पर्धा से काफी हद तक अप्रभावित रहता है। यह सीधे तौर पर बिटमेन जैसी संस्थाओं के उदय को मॉडल करता है।

4. तकनीकी विवरण एवं गणितीय रूपरेखा

एमएफजी का मूल आंशिक अवकल समीकरणों की युग्मित प्रणाली है:

1. एचजेबी समीकरण (इष्टतम नियंत्रण): $\partial_t v + H(t, x, \partial_x v, m) = 0$ अंतिम स्थिति $v(T,x)=U(x)$ के साथ। हैमिल्टनियन $H$ $\lambda$ पर अधिकतमीकरण को शामिल करता है: $H = \sup_{\lambda \geq 0} \{ \lambda [v(t, x+R) - v(t,x)] - c(\lambda) \partial_x v \}$.
2. केएफ समीकरण (वितरण विकास): $\partial_t m + \partial_x (b^* m) = 0$, जहाँ प्रवाह $b^* = -c(\lambda^*) + \lambda^* [\delta_{x+R} - \delta_x]$ इष्टतम नियंत्रण $\lambda^*$ से व्युत्पन्न होता है और इसमें एक जंप पद शामिल होता है। प्रारंभिक स्थिति दिया गया धन वितरण $m(0,x)=m_0(x)$ है।

संतुलन एक निश्चित बिंदु है जहाँ वितरण $m$ दिए जाने पर एचजेबी समीकरण से इष्टतम नियंत्रण $\lambda^*$, केएफ समीकरण के माध्यम से एक वितरण विकास उत्पन्न करता है जिसके परिणामस्वरूप वही $m$ प्राप्त होता है।

5. परिणाम, चार्ट एवं अनुभवजन्य संदर्भ

शोधपत्र के संख्यात्मक परिणाम आम तौर पर धन वितरण $m(t,x)$ के एक विसरित प्रारंभिक अवस्था (जैसे लॉग-सामान्य) से समय के साथ अत्यधिक विषम, केंद्रित वितरण में विकास को दर्शाते हैं। प्रमुख दृश्यीकरण में शामिल हैं:

• समय के साथ धन वितरण: चार्ट जो माइनर धन की प्रायिकता घनत्व फलन को अधिक दाईं ओर विषम होते हुए दिखाते हैं, जिसमें एक मोटी पूंछ विकसित होती है।
• गिनी गुणांक प्रक्षेपवक्र: गिनी गुणांक (असमानता का एक माप) का एक आलेख जो समय के साथ एकदिष्ट रूप से बढ़ता है, "अमीर और अमीर होते जाते हैं" प्रभाव को मात्रात्मक रूप दर्शाता है।
• हैश रेट हिस्सेदारी बनाम प्रारंभिक धन/लागत: एक आरेख जो दर्शाता है कि संतुलन हैश रेट हिस्सेदारी प्रारंभिक धन का एक तीव्रता से बढ़ता हुआ फलन या सीमांत लागत का एक घटता हुआ फलन कैसे है।
• अनुभवजन्य संबंध: यह मॉडल Kondor et al. (2014) जैसे अनुभवजन्य अवलोकनों के लिए एक सैद्धांतिक आधार प्रदान करता है, जिसने पाया कि बिटकॉइन संचय कुछ पतों में केंद्रित है, और बिटमेन जैसे लागत-लाभ वाले पूलों का बाजार प्रभुत्व (2019 में ~33% हैश रेट का नियंत्रण)।

6. विश्लेषणात्मक रूपरेखा: एक सरलीकृत केस स्टडी

परिदृश्य: एक सरलीकृत स्थैतिक मॉडल में दो माइनर प्रकारों पर विचार करें: कम सीमांत लागत $c_L$ और प्रारंभिक धन $W_L$ वाला "बड़ा" माइनर L, और उच्च लागत $c_S$ और धन $W_S$ वाला "छोटा" माइनर S, जहाँ $W_L >> W_S$, $c_L < c_S$.

मॉडल तर्क: प्रत्येक अपेक्षित लाभ को अधिकतम करने के लिए हैश रेट $\lambda_i$ चुनता है: $\pi_i = \lambda_i \cdot R / (\lambda_L + \lambda_S) - c_i \lambda_i$, जहाँ पुरस्कार हैश रेट के अनुपात में विभाजित होता है।

संतुलन परिणाम: प्रथम-कोटि शर्तों को हल करने पर $\lambda_L^* / \lambda_S^* = \sqrt{c_S / c_L}$ प्राप्त होता है। चूँकि $c_S > c_L$, लागत-लाभ वाला माइनर L असमान रूप से अधिक हैश शक्ति का योगदान करता है। उसका लाभ मार्जिन अधिक है, जो पुनर्निवेश और अंतर को और चौड़ा करने की अनुमति देता है—एमएफजी के केंद्रीकरण परिणाम का एक लघु रूप। यह दर्शाता है कि कैसे केवल प्रारंभिक धन ही नहीं, बल्कि लागत अंतर भी केंद्रीकरण को चलाते हैं।

7. भविष्य के अनुप्रयोग एवं शोध दिशाएँ

• वैकल्पिक सहमति तंत्र: वैलिडेटर संकेंद्रण और "नथिंग एट स्टेक" समस्या का विश्लेषण करने के लिए प्रूफ-ऑफ-स्टेक (पीओएस) प्रणालियों पर एमएफजी मॉडल लागू करना।
• नीति एवं प्रोटोकॉल डिजाइन: प्रस्तावित प्रोटोकॉल परिवर्तनों (जैसे परिवर्तनीय ब्लॉक पुरस्कार, विभिन्न फीस संरचनाएं) के विकेंद्रीकरण मैट्रिक्स पर प्रभाव का परीक्षण करने के लिए मॉडल का उपयोग करना।
• माइनिंग पूल गतिशीलता: मॉडल को माइनिंग पूलों के बीच रणनीतिक गठन और प्रतिस्पर्धा को शामिल करने, पूल फीस और विश्वास कारकों को शामिल करते हुए विस्तारित करना।
• बहु-संपत्ति/क्रॉस-चेन माइनिंग: माइनरों द्वारा कई क्रिप्टोकरेंसी में हैश शक्ति आवंटित करने का मॉडलिंग, पारिस्थितिकी तंत्र अंतर्क्रियाओं का अध्ययन।
• अनुभवजन्य डेटा के साथ एकीकरण: वास्तविक दुनिया के माइनिंग डेटा के साथ मॉडल पैरामीटर (लागत फलन, जोखिम विमुखता) को अंशांकित करके केंद्रीकरण सीमाओं की भविष्यवाणी करना।

8. संदर्भ

1. Li, Z., Reppen, A. M., & Sircar, R. (2022). A Mean Field Games Model for Cryptocurrency Mining. arXiv:1912.01952v2 [math.OC].
2. Nakamoto, S. (2008). Bitcoin: A Peer-to-Peer Electronic Cash System.
3. Kondor, D., Pósfai, M., Csabai, I., & Vattay, G. (2014). Do the Rich Get Richer? An Empirical Analysis of the Bitcoin Transaction Network. PLOS ONE.
4. Lasry, J.-M., & Lions, P.-L. (2007). Mean field games. Japanese journal of mathematics.
5. Carmona, R., & Delarue, F. (2018). Probabilistic Theory of Mean Field Games with Applications. Springer.

9. उद्योग विश्लेषक का परिप्रेक्ष्य

मूल अंतर्दृष्टि: यह शोधपत्र एक नियतिवादी लेकिन गणितीय रूप से सुंदर निर्णय देता है: प्रूफ-ऑफ-वर्क माइनिंग का आर्थिक यांत्रिकी स्वाभाविक रूप से केंद्रीकरणकारी है। विकेंद्रीकरण एक स्थिर संतुलन नहीं बल्कि एक क्षणिक अवस्था है जो पैमाने की अर्थव्यवस्थाओं, लागत लाभों और धन संयोजन द्वारा क्षरित होती है। मॉडल उस बात को औपचारिक रूप देता है जिस पर उद्योग पर्यवेक्षकों को लंबे समय से संदेह था—कि बिटकॉइन का "विकेंद्रीकरण" एक आख्यान है जो उसके अंतर्निहित गेम थ्योरी से बढ़ती असंगति में है।

तार्किक प्रवाह: तर्क प्रभावशाली है। तर्कसंगत, लाभ-अधिकतमीकरण करने वाले एजेंटों से शुरू करें। एक पुरस्कार संरचना जोड़ें जो स्टोकेस्टिक है लेकिन निवेशित पूंजी (हैश रेट) के समानुपाती है। विषम लागतों (बिजली, हार्डवेयर दक्षता) का परिचय दें। एमएफजी तंत्र तब अटल रूप से आगे बढ़ता है, यह दर्शाता है कि प्रारंभिक असमानताएं—चाहे धन में हों या परिचालन दक्षता में—प्रतिस्पर्धा द्वारा कम नहीं, बल्कि प्रवर्धित होती हैं। घातांकीय उपयोगिता के लिए स्पष्ट समाधान एक साफ-सुथरी चाल है, लेकिन घात उपयोगिता के संख्यात्मक परिणाम असली मजेदार बात हैं, जो सीधे वास्तविक दुनिया के माइनर व्यवहार से मेल खाते हैं।

शक्तियाँ एवं दोष: इसकी शक्ति इसकी औपचारिक कठोरता है—यह एक उचित आर्थिक मॉडल है, केवल हाथ हिलाना नहीं। यह सफलतापूर्वक सूक्ष्म-प्रोत्साहनों को स्थूल-परिणामों (केंद्रीकरण) से जोड़ता है। हालाँकि, इसका दोष अमूर्तता है। यह महत्वपूर्ण घर्षणों को अनदेखा करता है: पूल हॉपिंग रणनीतियाँ, एएसआईसी निर्माताओं (जैसे स्वयं बिटमेन) की खिलाड़ी और रेफरी दोनों के रूप में भूमिका, भौगोलिक/राजनीतिक नियामक जोखिम, और अत्यधिक केंद्रीकरण के जवाब में हार्ड फोर्क की संभावना। कई एमएफजी अनुप्रयोगों की तरह, "मीन फील्ड" धारणा—कि माइनर केवल समग्रता के साथ अंतर्क्रिया करते हैं—रणनीतिक गठबंधनों और पूल राजनीति को अत्यधिक सरल बना सकती है।

कार्रवाई योग्य अंतर्दृष्टि: प्रोटोकॉल डेवलपर्स के लिए, यह शोध एक कठोर चेतावनी है। केवल ब्लॉक पुरस्कारों में छेड़छाड़ करने से केंद्रीकरण ठीक नहीं होगा; यह लागत-पुरस्कार गणना में अंतर्निहित है। ध्यान उन सहमति तंत्रों को डिजाइन करने की ओर स्थानांतरित होना चाहिए जो सक्रिय रूप से पैमाने को दंडित करते हैं या वितरण को पुरस्कृत करते हैं, या लागत कारकों (जैसे माइनिंग पर कार्बन कर) पर नियामक हस्तक्षेप की भूमिका को स्वीकार करते हैं। निवेशकों के लिए, यह इस बात को रेखांकित करता है कि एक क्रिप्टोकरेंसी का दीर्घकालिक मूल्य न केवल अपनाने से, बल्कि इसके विकेंद्रीकरण की स्थिरता से भी जुड़ा हुआ है। कुछ लागत-लाभ वाली संस्थाओं द्वारा नियंत्रित एक नेटवर्क एक प्रणालीगत जोखिम है। यह शोधपत्र उस जोखिम को मापना शुरू करने के लिए मात्रात्मक रूपरेखा प्रदान करता है।