Model Permainan Min Medan untuk Perlombongan Mata Wang Kripto: Dinamika Pemusatan

Kandungan

1. Pengenalan & Gambaran Keseluruhan

Kertas kerja ini mencadangkan aplikasi novel teori Permainan Min Medan (MFG) untuk memodelkan dinamika persaingan perlombongan mata wang kripto, khususnya menangani paradoks pemusatan ganjaran dan kuasa pengiraan dalam sistem yang kononnya terdesentralisasi seperti Bitcoin. Soalan penyelidikan teras menyiasat insentif yang mendorong tingkah laku pelombong, mekanisme di sebalik pemusatan kekayaan dan kuasa, serta kesan faktor seperti taburan kekayaan awal, ganjaran perlombongan, dan kecekapan kos (contohnya, akses kepada elektrik murah).

Model ini menangkap intipati perlombongan bukti-kerja: pelombong menggunakan usaha pengiraan (kadar hash) dengan kos, bersaing untuk ganjaran stokastik. Pengagregatan strategi individu membawa kepada gambaran makroskopik evolusi ekosistem perlombongan.

2. Model Teras & Metodologi

2.1. Kerangka Permainan Min Medan

Model ini merumuskan persaingan perlombongan sebagai permainan min medan untuk penghentian optimum atau kawalan keamatan lompatan. Kontinum pelombong dipertimbangkan. Keadaan setiap pelombongialah kekayaan mereka $X_t$. Mereka mengawal keamatan kadar hash mereka $\lambda_t$, yang mempengaruhi kedua-dua kebarangkalian mereka untuk memenangi blok seterusnya dan kos operasi mereka.

2.2. Masalah Pengoptimuman Pelombong

Seorang pelombong individu bertujuan untuk memaksimumkan utiliti jangkaan kekayaan terminal mereka $X_T$. Dinamik kekayaan didorong oleh ganjaran perlombongan (lompatan) dan kos usaha:

$dX_t = -c(\lambda_t)dt + R \, dN_t^{\lambda_t}$

di mana $c(\lambda)$ ialah fungsi kos untuk mengekalkan kadar hash $\lambda$, $R$ ialah ganjaran blok tetap, dan $N_t^{\lambda}$ ialah proses Poisson terkawal dengan keamatan $\lambda_t$ yang mewakili peristiwa perlombongan blok yang berjaya.

2.3. Kawalan Keamatan Lompatan

Pemboleh ubah kawalan utamaialah keamatan $\lambda_t$ proses Poisson. Memilih $\lambda$ yang lebih tinggi meningkatkan peluang untuk mendapat ganjaran $R$ tetapi menanggung kos berterusan yang lebih tinggi $c(\lambda)dt$. Interaksi min medan timbul kerana kebarangkalian untuk menang juga bergantung pada kadar hash agregat semua pelombong lain, menghubungkan strategi individu dengan taburan populasi.

3. Hasil Analitikal & Berangka

3.1. Kes Utiliti Eksponen (Penyelesaian Eksplisit)

Untuk pelombong dengan utiliti eksponen $U(x) = -e^{-\gamma x}$ (penghindaran risiko mutlak malar), model ini mengakui penyelesaian eksplisit. Strategi kadar hash optimum $\lambda^*$ diterbitkan dalam bentuk maklum balas, menunjukkan bagaimana ia bergantung pada kekayaan semasa, penghindaran risiko $\gamma$, parameter kos, dan min medan.

3.2. Kes Utiliti Kuasa (Penyelesaian Berangka)

Untuk utiliti kuasa yang lebih realistik $U(x) = \frac{x^{1-\eta}}{1-\eta}$ (penghindaran risiko relatif malar), persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) yang digandingkan dengan persamaan Kolmogorov Forward (KF) untuk taburan kekayaan diselesaikan secara berangka. Ini mendedahkan dinamik di bawah penghindaran risiko relatif yang berkurangan.

3.3. Penemuan Utama & Pemacu Pemusatan

Kekayaan Melahirkan Kekayaan: Taburan kekayaan awal yang heterogen membawa kepada peningkatan ketidaksamaan dari masa ke masa ("yang kaya semakin kaya"). Pelombong yang lebih kaya dapat mengekalkan kadar hash yang lebih tinggi, memenangi lebih banyak ganjaran.
Kesan Saiz Ganjaran: Ganjaran Bitcoin $R$ yang lebih tinggi mempercepatkan pemusatan dengan memperbesar pulangan kepada skala untuk pelombong yang lebih besar.
Peranan Dual Persaingan: Walaupun lebih banyak pelombong meningkatkan kadar hash agregat, model menunjukkan persaingan hanya memperlahankan—tetapi tidak membalikkan—trend pemusatan secara sederhana.
Kecekapan Kos sebagai Kelebihan Muktamad: Seorang pelombong dengan fungsi kos $c(\lambda)$ yang lebih rendah (contohnya, daripada elektrik murah) menyumbang bahagian kuasa hash yang dominan dalam keseimbangan, kebal terhadap persaingan daripada pesaing yang kurang cekap. Ini secara langsung memodelkan kebangkitan entiti seperti Bitmain.

4. Butiran Teknikal & Kerangka Matematik

Teras MFG ialah sistem persamaan pembezaan separa yang digandingkan:

Persamaan HJB (Kawalan Optimum): $\partial_t v + H(t, x, \partial_x v, m) = 0$ dengan syarat terminal $v(T,x)=U(x)$. Hamiltonian $H$ menggabungkan pemaksimuman ke atas $\lambda$: $H = \sup_{\lambda \geq 0} \{ \lambda [v(t, x+R) - v(t,x)] - c(\lambda) \partial_x v \}$.
Persamaan KF (Evolusi Taburan): $\partial_t m + \partial_x (b^* m) = 0$, di mana hanyutan $b^* = -c(\lambda^*) + \lambda^* [\delta_{x+R} - \delta_x]$ diterbitkan daripada kawalan optimum $\lambda^*$ dan melibatkan sebutan lompatan. Syarat awalialah taburan kekayaan yang diberikan $m(0,x)=m_0(x)$.

Keseimbangan ialah titik tetap di mana kawalan optimum $\lambda^*$ daripada persamaan HJB, diberikan taburan $m$, menjana evolusi taburan melalui persamaan KF yang menghasilkan $m$ yang sama.

5. Hasil, Carta & Konteks Empirikal

Hasil berangka kertas kerja ini biasanya akan menggambarkan evolusi taburan kekayaan $m(t,x)$ daripada keadaan awal yang tersebar (contohnya, log-normal) kepada taburan yang sangat condong dan tertumpu dari masa ke masa. Visualisasi utama termasuk:

Taburan Kekayaan Sepanjang Masa: Carta yang menunjukkan fungsi ketumpatan kebarangkalian kekayaan pelombong menjadi lebih condong ke kanan, dengan ekor tebal terbentuk.
Trajektori Pekali Gini: Plot pekali Gini (ukuran ketidaksamaan) yang meningkat secara monoton dengan masa, mengkuantifikasi kesan "yang kaya semakin kaya".
Bahagian Kadar Hash vs. Kekayaan Awal/Kos: Gambarajah yang menunjukkan bagaimana bahagian kadar hash keseimbangan ialah fungsi yang meningkat dengan curam terhadap kekayaan awal atau fungsi yang berkurangan terhadap kos marginal.
Pautan Empirikal: Model ini menyediakan asas teori untuk pemerhatian empirikal seperti dalam Kondor et al. (2014), yang mendapati pengumpulan Bitcoin tertumpu kepada beberapa alamat sahaja, dan dominasi pasaran kolam yang mempunyai kelebihan kos seperti Bitmain (mengawal ~33% kadar hash pada 2019).

6. Kerangka Analitikal: Kajian Kes Dipermudahkan

Skenario: Pertimbangkan dua jenis pelombong dalam model statik yang dipermudahkan: Pelombong "Besar" L dengan kos marginal rendah $c_L$ dan kekayaan awal $W_L$, dan Pelombong "Kecil" S dengan kos tinggi $c_S$ dan kekayaan $W_S$, di mana $W_L >> W_S$, $c_L < c_S$.

Logik Model: Setiap satunya memilih kadar hash $\lambda_i$ untuk memaksimumkan keuntungan jangkaan: $\pi_i = \lambda_i \cdot R / (\lambda_L + \lambda_S) - c_i \lambda_i$, di mana ganjaran dibahagikan secara berkadaran dengan kadar hash.

Hasil Keseimbangan: Menyelesaikan syarat tertib pertama menghasilkan $\lambda_L^* / \lambda_S^* = \sqrt{c_S / c_L}$. Memandangkan $c_S > c_L$, pelombong L yang mempunyai kelebihan kos menyumbang kuasa hash yang jauh lebih banyak secara tidak berkadar. Margin keuntungannya lebih tinggi, membolehkan pelaburan semula dan seterusnya meluaskan jurang—ini merupakan mikrokosmos hasil pemusatan MFG. Ini menggambarkan bagaimana perbezaan kos, bukan hanya kekayaan awal, mendorong pemusatan.

7. Aplikasi Masa Depan & Hala Tuju Penyelidikan

Mekanisme Konsensus Alternatif: Menggunakan model MFG pada sistem bukti-kepentingan (PoS) untuk menganalisis pemusatan pengesah dan masalah "tiada apa yang dipertaruhkan".
Dasar & Reka Bentuk Protokol: Menggunakan model untuk menguji kesan cadangan perubahan protokol (contohnya, ganjaran blok berubah-ubah, struktur yuran berbeza) pada metrik penyahpusatan.
Dinamik Kolam Perlombongan: Memperluaskan model untuk memasukkan pembentukan strategik dan persaingan antara kolam perlombongan, menggabungkan yuran kolam dan faktor kepercayaan.
Perlombongan Pelbagai Aset/Rantai Silang: Memodelkan pelombong memperuntukkan kuasa hash merentasi pelbagai mata wang kripto, mengkaji interaksi ekosistem.
Integrasi dengan Data Empirikal: Menentukur parameter model (fungsi kos, penghindaran risiko) dengan data perlombongan dunia sebenar untuk meramalkan ambang pemusatan.

8. Rujukan

Li, Z., Reppen, A. M., & Sircar, R. (2022). A Mean Field Games Model for Cryptocurrency Mining. arXiv:1912.01952v2 [math.OC].
Nakamoto, S. (2008). Bitcoin: A Peer-to-Peer Electronic Cash System.
Kondor, D., Pósfai, M., Csabai, I., & Vattay, G. (2014). Do the Rich Get Richer? An Empirical Analysis of the Bitcoin Transaction Network. PLOS ONE.
Lasry, J.-M., & Lions, P.-L. (2007). Mean field games. Japanese journal of mathematics.
Carmona, R., & Delarue, F. (2018). Probabilistic Theory of Mean Field Games with Applications. Springer.

9. Perspektif Penganalisis Industri

Pandangan Teras: Kertas kerja ini memberikan keputusan yang fatalistik namun elegan secara matematik: mekanik ekonomi perlombongan bukti-kerja secara semula jadinya memusatkan. Penyahpusatan bukanlah keseimbangan stabil tetapi keadaan sementara yang dihakis oleh ekonomi skala, kelebihan kos, dan pengkompaunan kekayaan. Model ini memformalkan apa yang telah lama disyaki oleh pemerhati industri—bahawa "penyahpusatan" Bitcoinialah naratif yang semakin bercanggah dengan teori permainan asasnya.

Aliran Logik: Hujahnya menarik. Mulakan dengan agen rasional yang memaksimumkan keuntungan. Tambah struktur ganjaran yang stokastik tetapi berkadaran dengan modal yang dilaburkan (kadar hash). Perkenalkan kos heterogen (elektrik, kecekapan perkakasan). Mesin MFG kemudian bergerak ke hadapan tanpa henti, menunjukkan bagaimana perbezaan awal—sama ada dalam kekayaan atau kecekapan operasi—diperbesar, bukan dikurangkan, oleh persaingan. Penyelesaian eksplisit untuk utiliti eksponen ialah helah yang kemas, tetapi hasil berangka utiliti kuasaialah penamat sebenar, yang memetakan secara langsung kepada tingkah laku pelombong dunia sebenar.

Kekuatan & Kelemahan: Kekuatannyaialah ketegasan formalnya—ia model ekonomi yang betul, bukan sekadar retorik. Ia berjaya menghubungkan insentif mikro kepada hasil makro (pemusatan). Walau bagaimanapun, kelemahannyaialah abstraksi. Ia mengabaikan geseran penting: strategi melompat kolam, peranan pengeluar ASIC (seperti Bitmain sendiri) sebagai pemain dan pengadil, risiko peraturan geografi/politik, dan potensi garpu keras sebagai tindak balas kepada pemusatan melampau. Seperti banyak aplikasi MFG, andaian "min medan"—bahawa pelombong berinteraksi hanya dengan agregat—mungkin terlalu mempermudahkan pakatan strategik dan politik kolam.

Pandangan Boleh Tindak: Untuk pembangun protokol, penyelidikan iniialah amaran keras. Mengubah suai ganjaran blok sahaja tidak akan membetulkan pemusatan; ia terbenam dalam kalkulus kos-ganjaran. Fokus mesti beralih kepada mereka bentuk mekanisme konsensus yang secara aktif mengenakan penalti terhadap skala atau memberi ganjaran kepada pengagihan, atau menerima peranan untuk campur tangan peraturan terhadap faktor kos (contohnya, cukai karbon ke atas perlombongan). Untuk pelabur, ia menekankan bahawa nilai jangka panjang mata wang kripto bukan hanya terikat pada penerimaan tetapi pada kemampanan penyahpusatannya. Rangkaian yang dikawal oleh beberapa entiti yang mempunyai kelebihan kosialah risiko sistemik. Kertas kerja ini menyediakan kerangka kuantitatif untuk mula mengukur risiko tersebut.