Модель среднего поля для майнинга криптовалют: Динамика централизации

Содержание

1. Введение и обзор

В данной статье предлагается новое применение теории игр среднего поля (Mean Field Game, MFG) для моделирования конкурентной динамики майнинга криптовалют, в частности, для анализа парадоксальной централизации вознаграждений и вычислительной мощности в таких, казалось бы, децентрализованных системах, как Биткойн. Ключевые исследовательские вопросы касаются стимулов, определяющих поведение майнеров, механизмов концентрации богатства и мощности, а также влияния таких факторов, как начальное распределение богатства, размер вознаграждения за майнинг и эффективность затрат (например, доступ к дешёвой электроэнергии).

Модель отражает суть майнинга по принципу доказательства выполнения работы (proof-of-work): майнеры прилагают вычислительные усилия (хэшрейт), неся затраты, и конкурируют за стохастическое вознаграждение. Агрегирование индивидуальных стратегий приводит к макроскопическому описанию эволюции экосистемы майнинга.

2. Основная модель и методология

2.1. Фреймворк теории игр среднего поля

Модель формулирует конкурентный майнинг как игру среднего поля с оптимальной остановкой или управлением интенсивностью скачков. Рассматривается континуум майнеров. Состояние каждого майнера — это его богатство $X_t$. Они управляют интенсивностью своего хэшрейта $\lambda_t$, которая влияет как на вероятность нахождения следующего блока, так и на их операционные затраты.

2.2. Задача оптимизации майнера

Отдельный майнер стремится максимизировать ожидаемую полезность своего конечного богатства $X_T$. Динамика богатства определяется вознаграждениями за майнинг (скачками) и затратами на усилия:

$dX_t = -c(\lambda_t)dt + R \, dN_t^{\lambda_t}$

где $c(\lambda)$ — функция затрат на поддержание хэшрейта $\lambda$, $R$ — фиксированное вознаграждение за блок, а $N_t^{\lambda}$ — управляемый пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda_t$, представляющий успешные события нахождения блока.

2.3. Управление интенсивностью скачков

Ключевой управляемой переменной является интенсивность $\lambda_t$ пуассоновского процесса. Выбор более высокой $\lambda$ увеличивает шанс получить вознаграждение $R$, но влечёт более высокие непрерывные затраты $c(\lambda)dt$. Взаимодействие в среднем поле возникает потому, что вероятность выигрыша также зависит от совокупного хэшрейта всех остальных майнеров, связывая индивидуальные стратегии с распределением в популяции.

3. Аналитические и численные результаты

3.1. Случай экспоненциальной полезности (явное решение)

Для майнеров с экспоненциальной полезностью $U(x) = -e^{-\gamma x}$ (постоянная абсолютная неприязнь к риску) модель допускает явное решение. Оптимальная стратегия хэшрейта $\lambda^*$ выводится в форме обратной связи, показывая её зависимость от текущего богатства, неприязни к риску $\gamma$, параметров затрат и среднего поля.

3.2. Случай степенной полезности (численное решение)

Для более реалистичной степенной полезности $U(x) = \frac{x^{1-\eta}}{1-\eta}$ (постоянная относительная неприязнь к риску) уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана (HJB), связанное с уравнением Колмогорова-Фоккера-Планка (KF) для распределения богатства, решается численно. Это раскрывает динамику при убывающей относительной неприязни к риску.

3.3. Ключевые выводы и драйверы централизации

• Богатство порождает богатство: Неоднородные начальные распределения богатства приводят к усилению неравенства со временем («богатые становятся богаче»). Более состоятельные майнеры могут поддерживать более высокий хэшрейт, получая больше вознаграждений.
• Эффект размера вознаграждения: Более высокое вознаграждение в биткойнах $R$ ускоряет централизацию, усиливая эффект масштаба для крупных майнеров.
• Двойственная роль конкуренции: Хотя большее количество майнеров увеличивает совокупный хэшрейт, модель показывает, что конкуренция лишь умеренно замедляет — но не обращает вспять — тенденции к централизации.
• Эффективность затрат как решающее преимущество: Майнер с более низкой функцией затрат $c(\lambda)$ (например, из-за дешёвой электроэнергии) обеспечивает доминирующую долю хэшрейта в равновесии, будучи в значительной степени защищённым от конкуренции менее эффективных соперников. Это напрямую моделирует появление таких игроков, как Bitmain.

4. Технические детали и математический фреймворк

Основу MFG составляет связанная система дифференциальных уравнений в частных производных:

1. Уравнение HJB (оптимальное управление): $\partial_t v + H(t, x, \partial_x v, m) = 0$ с конечным условием $v(T,x)=U(x)$. Гамильтониан $H$ включает максимизацию по $\lambda$: $H = \sup_{\lambda \geq 0} \{ \lambda [v(t, x+R) - v(t,x)] - c(\lambda) \partial_x v \}$.
2. Уравнение KF (эволюция распределения): $\partial_t m + \partial_x (b^* m) = 0$, где дрейф $b^* = -c(\lambda^*) + \lambda^* [\delta_{x+R} - \delta_x]$ выводится из оптимального управления $\lambda^*$ и включает скачкообразный член. Начальное условие — заданное распределение богатства $m(0,x)=m_0(x)$.

Равновесие представляет собой неподвижную точку, в которой оптимальное управление $\lambda^*$ из уравнения HJB, при заданном распределении $m$, порождает через уравнение KF эволюцию распределения, которая приводит к тому же самому $m$.

5. Результаты, графики и эмпирический контекст

Численные результаты статьи, как правило, иллюстрируют эволюцию распределения богатства $m(t,x)$ от дисперсного начального состояния (например, логнормального) к высоко скошенному, концентрированному распределению с течением времени. Ключевые визуализации включают:

• Распределение богатства во времени: Графики, показывающие, как функция плотности вероятности богатства майнеров становится более скошенной вправо, с формированием «тяжёлого хвоста».
• Траектория коэффициента Джини: График коэффициента Джини (меры неравенства), монотонно возрастающего со временем, количественно отражающего эффект «богатые становятся богаче».
• Доля хэшрейта в зависимости от начального богатства/затрат: Диаграмма, показывающая, как равновесная доля хэшрейта является круто возрастающей функцией начального богатства или убывающей функцией предельных затрат.
• Эмпирическая связь: Модель обеспечивает теоретическую основу для эмпирических наблюдений, таких как сделанные в работе Kondor et al. (2014), где было обнаружено, что накопление биткойнов сконцентрировано среди небольшого числа адресов, а также для рыночного доминирования пулов с преимуществом в затратах, таких как Bitmain (контролировавший ~33% хэшрейта в 2019 году).

6. Аналитический фреймворк: упрощённый пример

Сценарий: Рассмотрим в упрощённой статической модели два типа майнеров: «Крупный» майнер L с низкими предельными затратами $c_L$ и начальным богатством $W_L$, и «Мелкий» майнер S с высокими затратами $c_S$ и богатством $W_S$, где $W_L >> W_S$, $c_L < c_S$.

Логика модели: Каждый выбирает хэшрейт $\lambda_i$, чтобы максимизировать ожидаемую прибыль: $\pi_i = \lambda_i \cdot R / (\lambda_L + \lambda_S) - c_i \lambda_i$, где вознаграждение делится пропорционально хэшрейту.

Равновесный исход: Решение условий первого порядка даёт $\lambda_L^* / \lambda_S^* = \sqrt{c_S / c_L}$. Поскольку $c_S > c_L$, майнер L с преимуществом в затратах обеспечивает непропорционально большую вычислительную мощность. Его норма прибыли выше, что позволяет реинвестировать и ещё больше увеличивать разрыв — это микрокосм результата централизации в MFG. Это иллюстрирует, как именно разница в затратах, а не только начальное богатство, ведёт к централизации.

7. Будущие приложения и направления исследований

• Альтернативные механизмы консенсуса: Применение моделей MFG к системам доказательства доли владения (proof-of-stake, PoS) для анализа концентрации валидаторов и проблемы «nothing at stake».
• Политика и дизайн протокола: Использование модели для тестирования влияния предлагаемых изменений протокола (например, переменного вознаграждения за блок, различных структур комиссий) на метрики децентрализации.
• Динамика майнинговых пулов: Расширение модели для включения стратегического формирования и конкуренции между майнинговыми пулами, с учётом комиссий пулов и факторов доверия.
• Мульти-активный/кросс-чейн майнинг: Моделирование распределения хэшрейта майнерами между несколькими криптовалютами, изучение взаимодействий в экосистеме.
• Интеграция с эмпирическими данными: Калибровка параметров модели (функций затрат, неприязни к риску) с использованием реальных данных майнинга для прогнозирования порогов централизации.

8. Ссылки

1. Li, Z., Reppen, A. M., & Sircar, R. (2022). A Mean Field Games Model for Cryptocurrency Mining. arXiv:1912.01952v2 [math.OC].
2. Nakamoto, S. (2008). Bitcoin: A Peer-to-Peer Electronic Cash System.
3. Kondor, D., Pósfai, M., Csabai, I., & Vattay, G. (2014). Do the Rich Get Richer? An Empirical Analysis of the Bitcoin Transaction Network. PLOS ONE.
4. Lasry, J.-M., & Lions, P.-L. (2007). Mean field games. Japanese journal of mathematics.
5. Carmona, R., & Delarue, F. (2018). Probabilistic Theory of Mean Field Games with Applications. Springer.

9. Перспектива отраслевого аналитика

Ключевая идея: Эта статья выносит фаталистичный, но математически элегантный вердикт: экономическая механика майнинга по принципу proof-of-work по своей природе централизует. Децентрализация — это не стабильное равновесие, а переходное состояние, размываемое эффектом масштаба, преимуществами в затратах и сложным процентом богатства. Модель формализует то, что давно подозревали отраслевые наблюдатели — «децентрализация» Биткойна всё больше расходится с его базовой теорией игр.

Логика изложения: Аргументация убедительна. Начните с рациональных, максимизирующих прибыль агентов. Добавьте структуру вознаграждения, которая стохастична, но пропорциональна вложенному капиталу (хэшрейту). Введите неоднородные затраты (электроэнергия, эффективность оборудования). Затем механизм MFG неумолимо движется вперёд, показывая, как начальные различия — будь то в богатстве или операционной эффективности — усиливаются, а не смягчаются конкуренцией. Явное решение для экспоненциальной полезности — это изящный приём, но численные результаты для степенной полезности — это настоящая кульминация, напрямую отражающая поведение майнеров в реальном мире.

Сильные стороны и недостатки: Сила — в её формальной строгости: это полноценная экономическая модель, а не просто рассуждения. Она успешно связывает микро-стимулы с макро-результатами (централизацией). Однако её недостаток — абстракция. Она игнорирует важные трения: стратегии перехода между пулами (pool hopping), роль производителей ASIC (таких как сам Bitmain) одновременно как игрока и судьи, географические/политические регуляторные риски и возможность хард-форков в ответ на экстремальную централизацию. Как и во многих приложениях MFG, предположение о «среднем поле» — что майнеры взаимодействуют только с агрегатом — может чрезмерно упрощать стратегические альянсы и политику пулов.

Практические выводы: Для разработчиков протоколов это исследование — суровое предупреждение. Одни лишь манипуляции с вознаграждением за блок не исправят централизацию; она заложена в расчёте затрат и вознаграждений. Фокус должен сместиться на проектирование механизмов консенсуса, которые активно наказывают за масштаб или поощряют распределение, либо на принятие роли регуляторного вмешательства в факторы затрат (например, углеродные налоги на майнинг). Для инвесторов это подчёркивает, что долгосрочная стоимость криптовалюты связана не только с её распространением, но и с устойчивостью её децентрализации. Сеть, контролируемая несколькими игроками с преимуществом в затратах, представляет собой системный риск. Данная статья предоставляет количественный фреймворк для начала измерения этого риска.